Bonjour, pouvez vous m'aider svp j'ai un DM pour le 18/05 Le gérant d’un magasin de sport souhaite faire construire une aire rectangulaire à l’extérieur du maga
Question
Le gérant d’un magasin de sport souhaite faire construire une aire rectangulaire à l’extérieur du magasin pour permettre aux dients de tester certains produits. Il veut que cette zone occupe 200 m² et que soit installée, sur trois de ses côtés, une clôture en bois coûtant 12 € le mètre. De plus, le long du côté attenant au mur du magasin, il fera poser une rangée de dalles en béton à 15 € le mètre.
Soient y la largeur et x la longueur du rectangle délimitant la zone. Le gérant aimerait connaitre les valeurs de x et de y qui minimiseraient le prix de l'entourage de cette aire sachant que x est compris entre 10 et 40 m.
1. a. Montrer que y =200/x
b. Montrer que le prix p de la construction de l'entourage peut s'exprimer en fonction de x et que: p(x) 27x+4800/x
2. étudier les variations de p sur l'intervalle [10;40].
3. Determiner les dimensions de la zone pour que le prix de l'entourage soit minimal.
Combien le gérant devra-t-payer ?
1 Réponse
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1. Réponse croisierfamily
Réponse :
Explications étape par étape :
■ Aire rectangulaire de 200 m² :
Longueur x largeur = 200 donne bien y = 200/x .
■ coût de la clôture sur 3 côtés :
13,5o €uros/mètre
[ y + 2*x ] * 13,5 = [ 200/x + 2x ]*13,5 = 2700/x + 27x .
■ coût du dallage béton :
10,5o €uros/mètre
y * 10,5 = 200/x * 10,5 = 2100/x .
■ ■ coût TOTAL :
p(x) = 4800/x + 27x .
■ ■ dérivée :
p ' (x) = -4800/x² + 27 nulle pour
x = √(4800/27) ≈ 13,33 mètres .
■ ■ tableau :
x --> 10 13,33 20 30 40 mètres
p ' (x) --> -21 0 15 21,67 24
p(x) --> 750 720 780 970 1200 €uros
■ ■ ■ conclusion :
largeur = 13,33 mètres ; Longueur = 15 mètres ;
Aire = 200 m² ;
Coût TOTAL mini = 720 €uros !