Bonjour pouvez-vous m'aider pour cet exercice je n'y arrive pas merci.

bonjour

forme trigonométrique d'un nombre complexe Z

                      z = |z| (cosθ + i sinθ)

|z| : module de z

θ : un argument de z    (angle orienté à 2π près)

                                  voir image

si  z = a + ib

                      |z| =  √(a² + b²)  

                     a = |z| cosθ)    et  b = |z| sinθ

a)

z₁ = -1/2 + i (√3/2)

 module de z₁ :

 (-1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 4/4 = 1

                      |z₁| = √1 = 1

  argument de z₁

  puisque |z₁| = 1    

           z₁ = cosθ + i sinθ

on cherche θ tel que  cosθ = -1/2  et sinθ = √3/2

                                   θ = 2π/3

(il faut connaître les valeurs remarquables de sin et cos et utiliser le

cercle trigonométrique)

                                z₁ = 1 ( cos (2π/3) + i sin (2π/3) )

b)

z₂ = √3 + i                                    

  module de z₂

        (√3)² + 1² = 3 + 1 = 4

           |z₂| = √4 = 2

argument de z₂

            z₂ = (√3 + 1 i)

            z₂ / 2 = (√3 + 1 i) / 2

                     =  √3/2  + 1 /2

       cosθ = √3/2  et sinθ = 1/2

                  θ = π/6

                               z₂ = 2(cos π/6 + i sin (π/6) )

en résumé :

z = a + ib

• on calcule le module de z : |z| = √(a² + b²)  

• on divise les 2 membres par |z|

         z / |z| =  a/|z| + i b/|z|

• on cherche θ tel que

   cos θ = a/|z|      et     sinθ = b/|z|

on donne en général      -π < θ < π

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  module √2  et argument  -3π /4

       "         1               "               π /4