Exercice sur les fonctions exponentielles Bonsoir ! J'aimerais avoir de l'aide pour cet exercice en maths, c'est le dernier que j'ai à faire pour mon DM. Si que

Réponse :

[tex]\text{ Utiliser la formule} : [u(x)*v(x)]'=u(x)*v'(x)+u'(x)*v(x)[/tex]

Appliquons la formule a la fonction f :

[tex]u(x)=6-3x[/tex]          [tex]u'(x)=-3[/tex]
[tex]v(x)=e^{2x}[/tex]               [tex]v'(x)=2e^{2x}[/tex]

[tex]f'(x)=(6-3x)*[2e^{2x}]+(-3)*[e^{2x}][/tex]

[tex]f'(x)=-3e^{2x}+(6-3x)e^{2x}*2[/tex]

[tex]f'(x)=(-3+2[6-3x])e^{2x}[/tex]

[tex]f'(x)=(-3+12-6x)e^{2x}[/tex]

[tex]f'(x)=(9-6x)e^{2x}[/tex]

Etudions désormais le signe de la dérivée pour ainsi déduire la variation de la fonction f :

Comme la dérivée est un produit de deux fonctions, il suffit alors d'étudier le signe des deux fonctions séparéments et ensuite appliquer la règle des signes :

[tex]e^{2x} \text{ est toujours positif sur } \mathbb{R} \text[/tex]

Donc il suffit d'étudier le signe de (9-6x)

[tex]9-6x \geq 0[/tex]
[tex]-6x \geq -9[/tex]
[tex]6x \leq 9[/tex]
[tex]x \leq \frac{3}{2}[/tex]
Donc : [tex]\forall x\leq \frac{3}{2} \text{ On a } (9-6x)\geq 0[/tex]

Conclusion :

[tex]\forall x\leq\frac{3}{2} \text{ On a } f'(x)\geq 0[/tex]
[tex]\forall x\geq \frac{3}{2} \text{ On a } f'(x)\leq 0[/tex]

[tex]\iff \forall x \in]-\infty;\frac{3}{2} ] f \text{ est croissante} \\\iff \forall x \in[\frac{3}{2};+\infty ] f \text{ est decroissante}[/tex]