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Question

Bonjour, j’aurais besoin d’aide pour un dm.

Dans une usine, un four cuit des céramiques à la température de 1 000 °C. À la fin de la cuisson, il est
éteint. On s'intéresse à la phase de refroidissement du four, qui débute dès l'instant où il est éteint. La
courbe représente la température du four en fonction du temps. La température du four, à l'instant t, est donnée par la fonction f définie pour tout nombre réel
t > 0 par f(t) = 980e -t/5 + 20.

1. Au bout de combien de temps la température est-
elle inférieure à 200 °C ?

2. Calculer f'(t) pour tout nombre t > 0 et en déduire les variations de f.

3. Démontrer que la température à l'intérieur du four ne peut jamais être inférieure à 20 °C.

4. Montrer que, pour tout t > 0 : ƒ'(t) + 1/5 ƒ(t) = 4
Bonjour, j’aurais besoin d’aide pour un dm. Dans une usine, un four cuit des céramiques à la température de 1 000 °C. À la fin de la cuisson, il est éteint. On

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1 Réponse

  • Réponse :

    Bonjour

    Explications étape par étape :

    f(t)=980 e^(-t/5)+20 avec t>01) on résout f(t)<200

    soit 980 e^(-t/5)<180

    e^(-t)/5) <180/980

    on passe par le ln

    -t/5<ln(9/49)

    solution t>[ln9-ln49)*(-5)=8,47h

     réponse t>8h 30mn (environ)

    2)f'(t)=980*(-1/5)e^(-t/5)=-196 e^(-t/5)

    cette dérivée est toujours <0 donc f(t) est décroissante

    limites

    t =0  f(t)=1000°

    si t tend vers +oo,  e^-t/5 tend vers 0 donc f(t) tend vers20°

    3) tableau

    t      0                                                     +oo

    f'(t)                          -                                  

    f(t  1000               décroît                       +20°

      20° est la température ambiante donc la température minimale.

    4) On remplace

    -196 e^(-t/5) +(1/5) [980e^(-t/5)+20]

    on développe et on réduit

    -196 e^(-t/5)+196 e^(-t/5)+4=4

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