Bonjour est ce que vous pourriez m'aider s'il vous plait c'est pour aujourd'hui, merciii

Réponse :

1) comparer ces deux moyennes

  soit   m = (a+b)/2   et  g = √ab   et  m² = ((a+b)/2)²  et g = (√ab)²

on écrit   m² - g² = (a+b)²/4  - ab = (a + b)²/4  - 4ab/4 = (a²+2ab+b²-4ab)/4

= (a² - 2ab +b²)/4  = (a - b)²/4    or  (a-b)² > 0 et 4 > 0  donc  (a-b)²/4 > 0

ainsi  on a,  m² - g² > 0  ⇔ m² > g²   donc  m > g    (car  m > 0 et g > 0)

2) f(x) = 1/(x² + 3)

1) montrer que pour tous nombres a et b

      f(b) - f(a) = (a-b)(a+b)/(b²+3)(a²+3)

f(b) - f(a) = 1/(b²+ 3) - 1/(a² + 3)

             = (a²+3)/(b²+3)(a²+3)  - (b²+3)/(b²+3)(a²+3)

             = ((a²+3) - (b²+3))/(b²+3)(a²+3)

             = (a² + 3 - b² - 3)/(b²+3)(a²+3)

             = (a² - b²)/(b²+3)(a²+3)       IDR

             = (a + b)(a - b)/(b²+3)(a²+3)

donc on a bien  f(b) - f(a) = (a + b)(a - b)/(b²+3)(a²+3)

2) en déduire le sens de variation de la fonction f sur [0 ; + ∞[  puis sur

]-∞ ; 0]

sur [0 ; + ∞[   on  a   0 < a < b   donc f(b) - f(a) < 0  donc  f est décroissante sur [0 ; + ∞[

sur ]- ∞ ; 0]  on a   a < b < 0   ⇒ f(b) - f(a) > 0  donc  f est décroissante sur

]- ∞ ; 0]

Explications étape par étape :