Coucou, je suis bloqué sur ce dernier exercice que je n'arrive pas à résoudre, il est plus complexe que d'habitude, si quelqu'un pourrait svp merci d'avance

Réponse :

1. f'(x) = [(2x-3)(2x+3)]/x²

2. f'(x) est positive sur ]-∞;-3/2]∪[3/2;+∞[.

   f'(x) est négative sur [-3/2;0[∪]0;3/2].

3. f est croissante sur ]-∞;-3/2]∪[3/2;+∞[.

   f est décroissante sur [-3/2;0[∪]0;3/2]

Explications étape par étape :

f(x) = 4x+1+(9/x)

1. f est du type u+v.

  f' est donc du type u'+v'.

Soit u(x)=4x+1     et     v(x)=9/x

D'où u'(x)=4        et     v'(x)=-9/x²

Donc f'(x) = 4-(9/x²)

  Selon  l'énoncé, f'(x)=[(2x-3)(2x+3)]/x²

                              f'(x)=((2x)²-3²)/x²

                              f'(x)=(4x²-9)/x²

                              f'(x)=(4x²/x²)-(9/x²)

                              f'(x)=4-(9/x²)

2.

2x-3=0                           2x+3=0                            x²=0

   2x=3                               2x=-3                            x=0

     x=3/2                               x=-3/2                          

2x-3>0 quand x>3/2     2x+3>0 quand x>-3/2     x²>0 par définiton

2x-3<0 quand x<3/2     2x+3<0 quand x<-3/2

Nous pouvons donc dresser le tableau de signe suivant :

x          -∞          -3/2          0          3/2          +∞

2x-3            -               -            -       0     +          

2x+3           -        0     +           +              +              

x²                +              +     0    +              +            

f'(x)              +       0    -      II     -       0     +            

3. Quand la dérivée est négative, la fonction est décroissante.

   Quand la dérivée est positive, la fonction est croissante.