bonsoir z=3-2i        a)z=(z+i)/(z-4+i)

z0=3-2i  il faut résoudre : (E) z=(z+i)/(z-4+i)

réponse:

a) (z+i)/(z-4+i)

=(3-2i+i)/(3-2i-4+i)

=(3-i)/(-i-1)

=(3-i)(-1+i)/((-1)²+(-1)²)

=(-2+4i)/2

=-1+2i ≠ 3-2i

donc z0 n'est pas solution de l'équation (E)

b) on suppose que z≠4-i

donc z=(z+i)/(z-4+i)

donne z(z-4+i)=z+i

donc z²-4z+iz-z-i=0

donc z²+(-5+i)z-i=0

donc (a+ib)²+(-5+i)(a+ib)-i=0

donc a²+2abi-b²-5a+ia-5ib-b-i=0

donc (a²-b²-5a-b)+(2ab+a-5b-1)i=0

donc

{a²-b²-5a-b=0

{2ab+a-5b-1=0

on obtient 2 solutions :

z1=0,03-0,2i et z2=4,97-0,8i

un graphique des olutions de ce système est donné en annexe