njour, svp pourriez vous m'aider à effectuer cette exercice svp merci beaucoup de votre part. Selon les données du rescensement national rélaisé par la Chine, o
Question
Selon les données du rescensement national rélaisé par la Chine, on peut estimer que la population de pandas géants augmente de 1.6% par an. Ce même rescensement annonçait 1864 pandas géants dans la nature en 2014.*On modélise le nombre de pandas l'année 2014+n par une suite Un ou U0 est la population en 2014, U1 est la population en 2015 etc.
1.
a) Montrer que ( Un) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
b) Montrer que Un= 1864*(1.016)n pour tout entier naturel n.
2.On considère l'équation ex=1.016
a) D'après l'allure de la courbe de la fonction exponentielle, déterminer le nombre de solutions de cette équation.
b) On note a une solution de l'équation. Justifier que Un=1864*ean
3. On considère une suite (Vn) géométrique de raison q>o.
a) Conjecturer le nombre de solution de l'équation ex=q d'inconnue x.
b) En notant a une de ces solutions, déterminer une expression du terme general (Vn) en fonction de n en utilisant la fonction exponentielle.
1 Réponse
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1. Réponse Mozi
Bonjour,
1.a) U(n+1) = U(n) * (1 + 1,6%) = U(n) * (1 + 0,016) = 1,016 U(n)
U(n) est donc une suite géométrique dont le premier term est U(0) = 1864 et la raison est 1,016
b) On le montre par récurrence.
U(0) = 1864 * (1,016)⁰
Supposons que U(n) = 1864 * [tex]1,016^{n}[/tex] et montre que l'expression est vrai pour U(n+1)
On a U(n+1) = 1,016 U(n) = 1,016 * 1864 * [tex]1,016^{n}[/tex] = 1864 * [tex]1,016^{n+1}[/tex]
cqfd
2.a) exp(x) est strictement croissante de IR vers IR*
l'équaiton exp(x) = m admet donc:
- Une solution unique si m > 0
- Aucune solution si m ≤ 0
b) on a donc [tex]e^{a}[/tex] = 1,016
D'où U(n) = 1864 * [tex](e^{a})^{n}[/tex] = 1864 [tex]e^{an}[/tex]
3.a) L'équation admet une solution unique.
b) On a V(n) = V(0) * [tex]q^{n}[/tex] avec q = [tex]e^{a}[/tex]
Donc V(n) = V(0) * [tex]e^{an}[/tex]