Bonjour j’ai besoin d’aide à cette exercice svp.

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

a)

Dans le triangle MNV, on a

MN = 4√3 cm, NV = 4 cm, MV = 8 cm

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, on a

NV² + MN² = 4² + (4√3)² = 16 + 4²√3² = 16 + 16 × 3 = 16 + 48 = 64

MV² = 8² = 64

On a bien NV² + MN² = MV², donc le triangle MNV est rectangle.

b)

Dans le triangle MVN rectangle en N, on a :

Angle VNM = 90°

En utilisant la formule du cosinus, on peut trouver les angles du triangle MVN

Rappel

cosinus d'un angle =  coté adjacent/hypoténuse

Dans le triangle MVN, on cherche l'angle NVM

A l'aide de la formule du cosinus, on a

coté adjacent = NV = 4 cm et hypoténuse = MV = 8 cm

cos (angle NVM) = NV/MV

application numérique

cos(angle NVM) = 4/8 = 1/2 = 0,5

En utilisant la touche INV ou 2ND et sur la touche COS simultanément,

on a l'angle NVM = 60°

donc on en déduit l'angle NMV dans le triangle rectangle MVN, en

effectuant le calcul suivant :

angle NMV = 90° - angle NVM = 90 - 60 = 30°

(car on est dans un triangle rectangle qui a déja un angle de 90° et

comme la somme des angles d'un triangle est 180°, on sait déjà que

l'on peut faire 180 - 90 = 90° )

donc l'angle NVM = 30°

On sait que la droite (NV) est perpendiculaire à la droite (NT) car

on a montré que le triangle MVN est rectangle en N

On sait aussi que dans l'énoncé le triangle OTM est rectangle en T

car les droites (OT) et (TN) sont perpendiculaires.

donc si (NV) est perpendiculaire à (TN) et la droite (OT) perpendiculaire à

(TN) alors les droites (NV) et (OT) sont parallèles

car si deux droites sont perpendiculaires alors toute droite

perpendiculaire à l’une est parallèle à l’autre .

Donc on sait que les points N,M,T et V,M,O sont alignés et les droites

(OT) et (NV) sont parallèles.

On sait aussi que MN = 4√3 cm, NV = 4 cm, MV = 8 cm et OM = 10 cm

dans les triangles MNV et MTO ,d'après le théorème de Thalès ,

on a

MN/MT = MV/MO = NV/TO

application numérique

4√3/MT = 8/10 = 4/5

donc 4√3/MT = 4/5

donc MT = 4√3 × 5/4

donc MV = 5√3 cm

Dans le triangle MTO rectangle en O, on a

OM = 10 cm et MT = 5√3 cm

d'après le théorème de Pythagore, on sait que

OM² = OT² + TM²

on cherche OT

donc on a

OT² =0M² - TM²

Application numérique

OT² = 10² - (5√3)²

OT² = 100 - 5²√3²

OT² = 100 - 25 × 3

OT² = 100 - 75

OT² = 25

OT = √25

OT = 5 cm

c)

Rappel

Tangente d'un angle = coté opposé / coté adjacent

dans le triangle OTI rectangle en I, on a

angle TOI = 40°, coté adjacent = OT = 5 cm,coté opposé = TI,

donc d'après la formule de la tangente d'un angle on a

tan (angle TOI) = TI/OT

application numérique

tan (40°) =  TI/5

TI = 5 × tan (40°)

TI ≈ 4,2 cm arrondie au mm près (arrondie au millimètre près)