Bonjour , je suis en seconde , j’ai vraiment besoin d’aide pour l’exercice 2 svp.

Réponse :

ex2

m est un réel   et Dm est la famille de droites d'équation

        (m + 2) x + (2 m + 2) y + 2 = 0

1) déterminer et construire la droite D0

m = 0  ⇒ D0  a pour équation  2 x + 2 y + 2 = 0  ⇔ 2(x + y + 1) = 0

⇔ x + y + 1 = 0  ⇔  y = - x - 1

a : coefficient directeur  = - 1  < 0  ⇒ la droite est descendante

pour tracer D0  il faut 2 points de coordonnées (0 ; - 1)  et (- 1 ; 0)

et D0 passe par ces deux points

2) déterminer et construire les droites Dm qui sont parallèles aux axes

Dm // à l'axe des abscisses   ⇔  x = 0  ⇒ Dm  a pour équation

(2 m + 2) y + 2 = 0   ⇔  y = - 2/(2 m + 2)     avec  m ≠ - 1

Dm : est l'ensemble des droites tel que m ∈ ]- ∞ ; - 1[U]- 1 ; + ∞[ et sont toutes parallèles à l'axe des abscisses

Dm // à l'axe des ordonnées  ⇔ y = 0  ⇔ Dm  a pour équation

(m + 2) x + 2 = 0   ⇔ x = - 2/(m+2)     avec  m ≠ - 2  

pour construire Dm // à l'axe des abscisses

m = 0 ⇒ y = - 1

m = 1 ⇒  y = - 1/2    

m = 2 ⇒ y = - 1/3  ⇒ pour m = - 2  ⇒ y = 1

Dm : est l'ensemble des droites tel que m ∈ ]- ∞ ; - 2[U]- 2 ; + ∞[ et sont toutes parallèles à l'axe des ordonnées

pour  m = 0  ⇒ x = - 1

pour m = 1  ⇒ x = - 2/3

pour m = - 1 ⇒ x = - 2

pour m = - 3  ⇒ x = 2

3) montrer de deux façons différentes, que deux droites quelconques Dm ne peuvent pas être parallèles

(m + 2) x + (2 m + 2) y + 2 = 0   a pour vecteur directeur

(- b ; a) = (-(2 m + 2) ; m + 2)

pour m = 0  ⇒ (- 2 ; 2)

pour m = 1  ⇒ (- 4 : 3)

det (u ; v) = xy' - x'y = - 2 * 3 - (- 4)*2  ≠ 0   donc les droite D0 et D1

ne sont pas //

pour m = 0 ⇒ y = - x - 1

pour m = 1  ⇒ 3 x + 4 y + 2 = 0 ⇒ y = - 3/4) x - 1/2

Do et D1  ont les coefficients directeurs différents  donc D0 n'est pas // à D1

4) existe t-il une droite Dm qui passe par le point A(3 ; 2) ? une qui passe par B(- 4 ; 2) ?

Dm passant par le point A(3 ; 2)  ⇔ (m + 2)*2 + (2 m + 2)*2 + 2 = 0

⇔ 2 m + 4 + 4 m + 4 + 2 = 0    ⇔ 6 m + 10 = 0   ⇔ m = - 10/6 = - 5/3

donc il existe une droite Dm pour m = - 5/3  qui passe par le point A

Dm  passant par le point B  ⇔ (m + 2)*(- 4) + (2 m + 2)*2 + 2 = 0

⇔ - 4 m - 8 + 4 m + 4 + 2 = 0   ⇔ - 8 + 6 = - 2 ≠ 0

Don il n'existe pas de droite Dm passant par le point B

5) pour quelles valeurs de m les droites Dm  ne rencontrent-elles pas la parabole d'équation y = x²/4

(m + 2) + (2 m + 2) y + 2 = 0

(m + 2) x + (2 m + 2) x²/4 + 2 = 0

(2 m + 2) x²/4 + 4(m + 2) x/4 + 4/2 = 0

(2 m + 2) x² + 4(m+2) x + 4 = 0

Δ = 16(m+2)² - 16(2 m + 2) = 16(m² + 4 m + 4) - 32 m - 32

   = 16 m² + 64 m + 64 - 32 m - 32

   = 16 m² + 32 m + 32

Δ < 0   ⇔ 16 m² + 32 m + 32 < 0

δ = 32² - 4 *16*32 = 1024 -

Explications étape par étape :