Bonsoir je n’arrive pas à faire mon exercice de math quelqu’un pourrais m’aider svp ?

Réponse :

g est définie sur R par  g(x) = eˣ - x + 1

1) déterminer la fonction dérivée de g

 eˣ est dérivable sur R  (fonction de référence)

  x + 1 est un polynôme dérivable sur R

donc par somme  la fonction  g est dérivable sur R et sa dérivée g'

est  g '(x) = eˣ - 1

2) déduis-en le sens de variation de la fonction g sur R

          x      - ∞                            0                          + ∞

       g '(x)                      -             0             +

        g(x)     + ∞→→→→→→→→→→→  2 →→→→→→→→→→→→ + ∞

                           décroissante           croissante

lim g(x)  = lim(eˣ - x + 1)

x → - ∞      x → - ∞

lim eˣ  = 0     et   lim - x  = + ∞  donc par addition  lim g = + ∞            

x → - ∞                 x → - ∞                                            x → - ∞

lim (eˣ - x + 1) = lim eˣ(1 - x/eˣ + 1/eˣ)

x → + ∞              x → + ∞

lim x/eˣ = 0   (par comparaison)    et  lim 1/eˣ = 0  donc par produit

x → + ∞                                                  x → + ∞

lim g = + ∞

x→ + ∞

3) montrer que pour tout réel x,  g(x) > 0

    on sait que  eˣ > x  ⇔ eˣ - x > 0   ⇔ eˣ - x + 1 > 1   donc eˣ - x + 1 > 0

⇔ g(x) > 0

2) f est définie sur R par f(x) = x + 1 + x/eˣ

a) montrer que f '(x) = g(x)/eˣ

f '(x) = 1 + (eˣ - xeˣ)/(eˣ)²

       = 1 + eˣ(1 - x)/(eˣ)²

       = 1 + (1 - x)/eˣ

       = (eˣ - x + 1)/eˣ

       = g(x)/eˣ

b)  f '(x) = g(x)/eˣ   or  eˣ > 0  donc le signe de f '(x) est du même que g

   puisque  g (x) > 0  donc  f '(x) > 0  donc  f est croissante sur R

Explications étape par étape :