Bonsoir, j’ai du mal avec cette exercice, pouvez-vous m’aider s’il vous plaît. Merci beaucoup ! Soit f une fonction polynôme de degré 3 définie sur R par f(x) =
Question
Soit f une fonction polynôme de degré 3 définie sur R par
f(x) = ax3 + bx² + cx+d, où a, b, c et d
sont des réels fixés avec a non nul.
On donne les informations suivantes :
• f(0) = -7:
. f(1) = -8;
• f'(0) = -4;
• la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse -2 est horizontale.
Déterminer les valeurs des réels a, b, c et d pour trouver l'expression de la fonction f.
1 Réponse
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1. Réponse jpmorin3
bonjour
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
on cherche 4 nombres inconnus
on a 4 informations
• f(0) = -7:
. f(1) = -8;
• f'(0) = -4;
• la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse -2 est horizontale.
chaque information donne une équation
on obtient un système de 4 équations à 4 inconnues que l'on résout
• f(0) = -7
f(0) = d
d'où : d = -7 (1)
• f(1) = -8
f(1) = a + b + c + d
d'où : a + b + c + d = -8 (2)
• f'(0) = -4
f'(x) = 3ax² +2bx + c
f'(0) = c
d'où c = -4 (3)
• la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse -2 est horizontale.
f'(-2) = 0
f'(-2) = 3a(-2)² + 2b(-2) + c
d'où 12a - 4b + c = 0 (4)
on connaît les valeurs de d et c
on remplace d et c par ces valeurs dans (2) et (4)
il reste un système de deux équations à 2 inconnues à résoudre
a + b + c + d = -8 (2) devient
a + b - 4 -7 = -8
a + b = 3 (5)
12a - 4b + c = 0 (4) devient
12a - 4b - 4 = 0
3a - b - 1 = 0
3a - b = 1 (6)
par addition membre à membre de -5) et -6)
4a = 4 d'où a = 1
b = 3 - a d'où b = 2
a = 1 ; b = 2 ; c = -4 ; d = -7
f(x) = x³ + 2x² - 4x - 7