Bonjour désolé de vous déranger Pour Demain j’ai cette exercice à faire mais je le comprends pas quelque pourrais m’aider svp merci beaucoup !

Réponse :

f(x) = x/(eˣ - x)

1) soit g la fonction définie sur R  par  g(x) = eˣ - x - 1

a) g '(x) = eˣ - 1

          x     - ∞                       0                      + ∞

      g'(x)                   -            0             +

       g(x)     + ∞ →→→→→→→→→ 0 →→→→→→→→→→ + ∞

                          décroissante     croissante

en déduire le signe de g(x);  d'après le tableau de variation  g(x) > 0

b)  g(x) > 0  ⇔  eˣ - x - 1 >0  ⇔  eˣ - x - 1 + 1 > 1  ⇔ eˣ - x > 1  donc eˣ - x > 0

2)  f(x) = x/(eˣ - x)

f '(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²

u(x) = x    ⇒ u'(x) = 1

v(x) = eˣ - x   ⇒ v'(x) = eˣ - 1

f '(x) = (eˣ - x - x(eˣ - 1))/(eˣ - x)²

       =  (eˣ - x - xeˣ + x))/(eˣ - x)²

       = (eˣ - xeˣ)/(eˣ - x)²

 f '(x) = eˣ(1 - x)/(eˣ - x)²

b) justifier que f est définie et dérivable sur R

      f(x) = x/(eˣ - x)     x est définie sur R  et   eˣ - x > 0 pour tout réel x   donc le quotient est définie sur R

f est une fonction quotient est dérivable sur R   car   x est dérivable sur R  et  eˣ - x > 0 est dérivable sur R

 f '(x) = eˣ(1 - x)/(eˣ - x)²   or  eˣ > 0  et  (eˣ - x)² > 0  donc le signe de f '(x) est du signe 1 - x

    x    - ∞                           1                             + ∞

 f '(x)                   +             0               -

 f(x)    - ∞ →→→→→→→→→→→→ 1/(e -1) →→→→→→→→→ 0

                     croissante               décroissante      

c) y = f(0) + f '(0) x

f(0) = 0

f '(0) = 1

donc  y = x   équation de la tangente T à C au point d'abscisse 0

Explications étape par étape :