Bonjour! 2. En déduire l'inégalité: a²+b²+c² >= ab+bc+ca

Réponse :

Considérons l'inégalité : (a-b)² + (b-c)² + (c-a)² .
Cela donne (a² - 2ab + b²) + (b² - 2bc + c²) + (c² - 2ac + a²).

Or un carré étant positif ou nul (dans R), une somme de carrés et positive ou nulle.

On a donc :

(a-b)² + (b-c)² + (c-a)² ≥ 0

donc (a² - 2ab + b²) + (b² - 2bc + c²) + (c² - 2ac + a²) ≥ 0

Quand on développe et qu'on regroupe on trouve :

(a² + b² + b² + c² + c² + a²) - 2ab -2bc -2ac ≥ 0

Donc en passant le deuxième groupe à droite, on a :

(a² + b² + b² + c² + c² + a²) ≥ (2ab + 2bc + 2ac)

Donc 2a² + 2b² + 2c² ≥ 2ab + 2bc + 2ac.

On divise par 2 (2>0 donc on ne change pas le sens de l'inégalité) et on obtient :

a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac , où dans l'autre sens, ab + bc + ac ≤ a² + b² + c²